4. Given two distinct points p and q on a surface M, we want to consider the two

Question

4. Given two distinct points p and q on a surface M, we want to consider the two tangent spaces T,M and TM. Prove abstractly that these two tangent spaces are isomorphic as vector spaces. Give a simple example showing that they are often not equal as vector subspaces of R3. Give a simple example on the unit sphere showing that sometimes they are equal as vector sub- spaces of R3 If p-r(a, b), and q = y(c, d) (maybe two different patches of same surface), describe a method to build an explicitlisomorphism (ie an invertible linear transformation) between Tp.M and TM. This method should depend heavily on the functions i and y. Thus the choice of isomorphism is ertrinsic. Finding an intrinsic choice of such isomorphism can be regarded as one of the starting points in the study of Lie Groups, which carry precisely the extra structure needed for an easy such choice.) 5. Suppose a(s) is a simple unit speed curve with nowhere zero curvature and everyuhere zero torsion. : U = Thus, i(s) is planar and has constant binormal B(s) = (a, b) × R R3 given by * 0 Consider the function i(s, u) := ci(s) + UB(s). Prove that ž is a simple surface with surface unit normal i(s, v) matching the curve's unit normal N(s) but reversed: n(s, t) =-N(s) Show that for this z, g= the identity matrix. Thus such a surface r is geometrically indistinguishable from a plane, regardless of any planar curvature involved in da. What shape is ž in the case that a was a circle (ignoring the technical overlap issues, which can be overcome without too much trouble)?

Explanation / Answer

ksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoiksdfcdksnfkkafkertklrmkrnkehfkeahriurehtirthiurhtirehtiretioreoi

Related Questions

Navigate

• Browse (All)
• Browse 4
• Subjects

---

---

Integrity-first tutoring: explanations and feedback only — we do not complete graded work. Learn more.